Question

【题目】如图，在几何体中，底面为矩形， ， ．点在棱上，平面与棱交于点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，平面平面，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析(3)

【解析】试题分析：（Ⅰ）由线面平行判定定理得平面，由线面平行性质定理得；（Ⅱ）通过线面垂直平面，得面面垂直；（Ⅲ）先证， ， 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出面的法向量为，结合面的法向量为，求出法向量夹角即可.

试题解析：（Ⅰ）因为为矩形，所以，所以平面．

又因为平面平面，所以．

（Ⅱ）因为为矩形，所以．因为，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因为， ，所以平面，所以．

由（Ⅱ）得平面，所以，所以， ， 两两互相垂直．建立空间直角坐标系．

不妨设，则，设．

由题意得， ， ， ， ， ， ．

所以， ，设平面的法向量为，则即令，则，所以．

又平面的法向量为，所以．

因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小．