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    【题目】如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．

    （1）求证：C、D、G、E四点共圆．
    （2）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．

    【答案】
    （1）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，

    ∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°

    ∴∠C=∠AGD，

    ∴∠C+∠DGE=180°，

    ∴C，E，G，D四点共圆．


    （2）解：∵EGEA=EB2，EG=1，GA=3，

    ∴EB=2，

    又∵F为EB的三等分点且靠近E，

    ∴ ， ，

    又∵FGFD=FEFC=FB2，

    ∴ ，CE=2．


    【解析】（1）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（2）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．

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