Question

已知抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），P（x，y）是抛物线上的动点，定点A（2，0）．
（1）若x＞2，设线段AP的垂直平分线与x轴交于Q（x₁，O），求x₁的取值范围；
（2）是否存在垂直于x轴的定直线l，使以AP为直径的圆截l得到的弦长为定值？若存在，求其方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），确定抛物线方程，进而求出线段AP的垂直平分线方程，令y=0，可得，利用基本不等式可确定x₁的取值范围；
（2）假设存在所求直线l为x=n，先确定AP的中点M（圆心）到l的距离，半径为，进而可得弦长，由此可得结论．
解答：解：（1）∵抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），
∴m=4，∴抛物线方程是y²=4x
∵P（x，y）是抛物线上的动点，定点A（2，0）．
∴，
∴线段AP的垂直平分线方程为
令y=0，可得
∵x＞2，∴x-2＞0，
∴（当且仅当时取等号）
∴x₁的取值范围是[，+∞）；
（2）假设存在所求直线l为x=n，AP的中点M（圆心）到l的距离
半径为
弦长为
若弦长为定值，则n-1=0
∴n=1
此时d＜r，圆M恒与直线x=1相交，且截得弦长恒为2．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查基本不等式的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是利用垂径定理表达出弦长．