Question

在△ABC中，分别是,的中点，且，若恒成立，则的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解析试题分析：如图所示：

∵3AB=2AC，∴AC=AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，
∴AE=AC，AF=AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（AB）²-2AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（AB）²+（AB）²-2•AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
∴=,
∴=.
∵当cosA取最小值时，最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时 达到最大值，最大值为 ,
故 恒成立，t的最小值为.选A.
考点：余弦定理，余弦函数的性质，不等式恒成立问题。
点评：中档题，不等式恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值问题，解答本题的关键是，熟练掌握余弦定理，利用余弦定理建立三角形的边角关系。