Question

【题目】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，以下说法正确的个数是（ ）

①三棱锥的体积为定值；

②的面积的最小值为；

③平面；

④经过三点的截面把正方体分成体积相等的两部分.

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题意得，平面，连接，则，可得平面，平面，由此得平面平面，则点在直线上，从而有的面积为定值，由此可判断①；结合题意得，当点为的交点时，，有最小值，由此可判断②；由题意可得平面，从而推出，，由此可判断③；将平面补成平面（均为各条棱的中点），结合图象可判断④．

解：∵直线与平面不存在公共点，

∴平面，

连接，则，

∵分别是棱的中点，

∴，，

∵平面，平面，

∴平面，

同理，平面，

又，

∴平面平面，

∵平面，平面平面，平面，

∴点在直线上，

∵，

∴的面积为定值，

∴三棱锥的体积为定值，则①对；

∵，

∴当点为的交点时，，有最小值，

此时，直角的面积有最小值，且，则②对；

∵在正方体中，，

由平面得，，

∴平面，∴，则，

同理，，

∴平面，则③对；

将平面补成平面（均为各条棱的中点），如图，

则平面将正方体分成两个大小形状完全相同的部分（均由一个正六棱锥和三个三棱锥拼接而成），则④对；

故选：D．