Question

已知α，β∈R，直线

x

sinα+sinβ

+

y

sinα+cosβ

=1与

x

cosα+sinβ

+

y

cosα+cosβ

=1
的交点在直线y=-x上，则sinα+cosα+sinβ+cosβ=

 

．

Answer 1

分析：先由已知可设两直线的交点为（x₀，-x₀），构造方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1，且sinα，cosα为方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1的两个根，即为方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的两个根．从而得出sinα+cosα+sinβ+cosβ的值．

解答：解：由已知可设两直线的交点为（x₀，-x₀），
且sinα，cosα为方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1，的两个根，
即为方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的两个根．
因此sinα+cosα=-（sinβ+cosβ），
即sinα+cosα+sinβ+cosβ=0．
故答案为：0．

点评：本小题主要考查直线的截距式方程、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．