Question

【题目】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）.

（1）求常数，并将该厂家2016年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）2．5万元

【解析】试题分析：（1）已知该产品的年销量万件与年促销费用 万元满足，因此将当时， 代入，求出即可得到该产品的利润y万元关于年促销费用t万元的函数，需要注意的是定义域要实际问题实际考虑，即；（2）化简函数，再利用基本不等式，求解厂家的利润最大值；

试题解析：（1）由题意，当时， ，代入中，得，得故，

．

（2）由（1）知：

由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立，

故．

答：该厂家2016年的年促销费用投入2．5万元时，厂家利润最大．