Question

有下列几个命题：①若

a

与

b

-

c

都是非零向量，则“

a

•

b

=

a

•

c

”是“

a

⊥(

b

-

c

)”的充要条件；②已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是

15

7

；③在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-1）；④设

a

，

b

，

c

为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足

a

与

b

不共线，

a

⊥

c

，|

a

|=|

c

|，则|

b

•

c

|的值一定等于以

a

，

b

为邻边的平行四边形的面积．其中正确命题的序号是

 

．（写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据向量垂直时，数量积为0，我们结合充要条件的定义，可以判断①的真假；根据二倍角的正切公式，我们可以判断②的真假；根据平行四边形的判定及性质，求出D点坐标，可以判定③的真假；根据向量数量积公式，及三角形面积公式，可以判断④真假，进而得到答案．

解答：解：若

a

与

b

-

c

都是非零向量，则“

a

•

b

=

a

•

c

”⇒“

a

⊥(

b

-

c

)”为真，“

a

⊥(

b

-

c

)”⇒“

a

•

b

=

a

•

c

”为真，故①正确；
若等腰△ABC的腰为底的2倍，则sin

A

2

=

1

4

，cos

A

2

=

15

4

，进而得到顶角A的正切值为

15

7

，故②正确；
在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-2），故③错误；
由向量

a

与

b

不共线，

a

⊥

c

，|

a

|=|

c

|，设＜

a

，

b

＞=θ，则|

b

•

c

|=|

b

|•|

c

|•cos（90°-θ）=|

b

|•|

a

|•sinθ，等于以

a

，

b

为邻边的平行四边形的面积，故④正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查的知识点是零向量，必要条件、充分条件与充要条件的判断，平等向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中熟练掌握上述基本知识点是解答本题的关键．