Question

甲、乙、丙三人独立地解同一道数学题,甲能解决这道题的概率是P₁,乙能解决这道题的概率是P₂,丙能解决这道题的概率是P₃,解决下列问题:

(1)求没有人能解出这道题的概率；

(2)求至少有一个人能解出这道题的概率；

(3)求有人没解出这道题的概率；

(4)求恰有一人能解出这道题的概率.

Answer 1

解析：设甲、乙、丙能解出这道题的事件分别为A₁、A₂、A₃,则A₁、A₂、A₃是相互独立事件,但不是互斥事件.

(1)没有人能解出这道题的事件A=

∵、、相互独立,

∴P(A)=P()=(1-P₁)(1-P₂)(1-P₃).

(2)至少有一人能解出这道题的事件B=A₁+A₂+A₃,

但不能运用互斥事件的和的概率公式,注意到B与A=是对立事件,

∴P(B)=1-P()=1-(1-P₁)(1-P₂)(1-P₃).

(3)有人没解出这道题的事件为C,如果直接表达C比较复杂,由于C与事件“A₁A₂A₃”是对立事件,

∴P(C)=1-P(A₁A₂A₃)=1-P₁P₂P₃.

(4)恰有一人能解出这道题的事件D=A₁+A₂+A₃.

∵A₁,A₂与A₃彼此互斥,

∴P(D)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)=P₁(1-P₂)(1-P₃)+P₂(1-P₃)(1-P₁)+P₃(1-P₁)(1-P₂).