Question

上海某玩具厂生产x套吉祥物“福娃”所需成本费用为P元，且P=1000+5x+

1

10

x2，而每套售出的价格为Q元，其中Q=a+

x

b

(a，b∈R)，
（1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？
（2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值．（利润=销售收入-成本）

Answer 1

分析：（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；
（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数Qx-P=x(a+

x

b

)-(1000+5x+

x2

10

)=(

1

b

-

1

10

)x2+(a-5)x-1000，
再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，即可求a，b的值

解答：解：（1）由题意，每套“福娃”所需成本费用为

p

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

1

10

x+

1000

x

+5≥2

100

+5=25，
当

1

10

x=

1000

x

，即x=100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元．（6分）
（2）利润为Qx-P=x(a+

x

b

)-(1000+5x+

x2

10

)=(

1

b

-

1

10

)x2+(a-5)x-1000（9分）．
由题意，

5-a 2( 1 b - 1 10 ) =150 a+ 150 b =30

（12分）
解得  a=25，b=30．（14分）．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键．