Question

(理)某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为,且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望;

(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

(文)为丰富学生的课余生活,学校决定在高一年级开设系列选修课,并开放了三间多媒体教室,且各门选修课是否使用多媒体教室互不影响.

(1)若周一下午开设的A、B、C三门选修课使用多媒体教室的概率分别为、、,求这三门选修课中恰有两门课使用多媒体教室的概率;

(2)若周二下午开设的五门选修课使用多媒体教室的概率均为,求多媒体教室不够用的概率.

Answer 1

解：(理)(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η,则ξ的取值分别为1、2、3;η取值分别为0、1、2、3.

∵P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

ξ	1	2	3
P

Eξ=1×+2×+3×=2.

P(η=0)=×[C⁰₃×(1-)³+C⁰₃×(1-)³+…+C⁰₃×(1-)³]=C⁰₃×(1-)³=,

同理,P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=.

方法一:考生乙正确完成题数的概率分布列为

Η	0	1	2	3
P

Eη=0×+1×+2×+3×=2.

方法二:同方法一得考生乙正确完成题数的概率分布列为

Η	0	1	2	3
P

∴考生乙做对题数η服从二项分布.因此,Eη=np=3×=2.

(2)∵Dξ=(2-1)²×+(2-2)²×+(2-3)²×=,Dη=(2-0)²×+(2-1)²×+(2-2)²×+(2-3)²×=(或Dη=npq=3××=).

∴Dξ＜Dη.∵P(ξ≥2)=+=0.8,P(η≥2)=+≈0.74,∴P(ξ≥2)＞P(η≥2).

从做对题数的数学期望考查,两人水平相当;从做对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.

(文)解:(1)记A、B、C三门选修课使用多媒体教室为事件A、B、C,恰好有两门选修课使用多媒体教室可以分成A·B·、A··C、·B·C.

根据互斥事件和相互独立事件的概率公式,得P₁=××(1)+×(1-)×+(1-)××

=.

答:恰有两门选修课使用多媒体教室的概率为.

(2)记某选修课需要使用多媒体教室为事件D,多媒体教室不够使用,表明至少有四门选修课需使用多媒体教室,由于各门选修课之间是否使用多媒体教室互不影响,问题转化为五次独立重复试验中事件D至少发生4次.

恰有4门选修课需要使用多媒体教室的概率为×()⁴×(1-)=,

恰有5门选修课需要使用多媒体教室的概率为×()⁵=.故P₂=.

答:多媒体教室不够用的概率为.