Question

双曲线C：x²-y²=2右支上的弦AB过右焦点F．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程
（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用点差法，可求求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）以AB为直径的圆过原点O，可得OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答：解：（1）设M（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=

x

y

，
∵双曲线C：x²-y²=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴

y

x-2

=

x

y

，
化简可得x²-2x-y²=0，（x≥2）-------（6分）  
（2）假设存在，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=k（x-2）
由已知OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0---------①

x2-y2=2 y=k(x-2)

⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0，
所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

（k²≠1）--------②
联立①②得：k²+1=0无解
所以这样的圆不存在．-----------------------（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查点差法的运用，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．