Question

某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的球形糖果的外层包装进行设计，设计时要求同时满足如下条件：
（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；
（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；
（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小．问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？如不能，请说明理由．

Answer 1

分析：假设圆锥母线与底面夹角为2θ，圆锥的全面积=πR（l+R），然后利用二次函数求出其最值，圆锥的体积为V=

1

3

Sh，利用二次函数求出最值，看能同时取到最值，从而得到结论．

解答：解：假设圆锥母线与底面夹角为2θ．
圆锥的全面积=πR（l+R）
=π•

1

tgθ

•

2

tgθ(1-tg2θ)

=

2π

tg2θ(1-tg2θ)

．
在圆锥全面积的表达式中，因其分子为常数，所以欲使全面积最小，必须使其分母最大．
tg2θ(1-tg2θ)=

1

4

-

1

4

(2tg2θ-1)2．
因此，欲使tg²θ（1-tg²θ）最大，必须
2tg2θ-1=0，tgθ=

2

2

，（因必为锐，所以仅取正号）
θ=arctg

2

2

．
故当θ取值 θ=arctg

2

2

时，圆锥的全面积最小．
圆锥的体积为V=

1

3

Sh=

1

3

π

1

tg2θ

（1+

1

cos2θ

）=

π

3

1

tg2θ

×

2

1-tg2θ

根据体积的表达式中，因其分子为常数，所以欲使体积最小，必须使其分母最大．
tg2θ(1-tg2θ)=

1

4

-

1

4

(2tg2θ-1)2．
因此，欲使tg²θ（1-tg²θ）最大，必须
2tg2θ-1=0，tgθ=

2

2

，（因必为锐，所以仅取正号）
θ=arctg

2

2

．
故当θ取值 θ=arctg

2

2

时，圆锥的体积最小．
∴这个圆锥的底面半径为

2

和高为4，此时所用的外包装用料是8π，体积是

8π

3

．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了圆锥的体积和表面积，以及最值的求解，属于中档题．