Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，其前n项和为s_n，且对任意正整数n有：n、a_n、S_n成等差数列．
（1）求证：数列{S_n+n+2}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由n、a_n、S_n成等差数列，可得2a_n=n+S_n，所以2（S_n-S_n-1）=n+S_n，由此可得结论；
（2）先求数列{S_n+n+2}的通项，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵n、a_n、S_n成等差数列
∴2a_n=n+S_n，
∴2（S_n-S_n-1）=n+S_n，
∴S_n+n+2=2[S_n-1+（n-1）+2]
∴

Sn+n+2

Sn-1+(n-1)+2

=2
∴{S_n+n+2}成等比数列
（2）解：由（1）知{S_n+n+2}是以S₁+3=a₁+3=4为首项，2为公比的等比数列
∴Sn+n+2=4•2n-1=2n+1
又2a_n=n+S_n，∴2

a

n

+2=2n+1
∴an=2n-1

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列递推式，考查数列的通项，求得数列是等比数列是关键．