Question

已知函数f(x)=1－的定义域为［－5,0］,它的反函数为y=f^－1(x),且点P(－2,－4)在y=f^－1(x)的图象上.

(1)求实数a的值,并求y=f^－1(x)；

(2)证明函数与反函数在其定义域上递减.

Answer 1

(1)解:由已知P′(－4,－2)在函数f(x)=1－的图象上,即－2=1－,解得a=－1.

由－5≤x≤0得0≤－x²+25≤25,则－4≤1－≤1.

∴函数f(x)=1－的值域为［－4,1］.

由y=1－及－5≤x≤0,解得x=－.

∴f^－1(x)=－,x∈［4,1］.

(2)证明:设－5≤x₁≤x₂≤0,即x₁－x₂<0,x₁+x₂<0,

f(x₁)－f(x₂)=(1－)－(1－)

=－

=>0,

即f(x₁)>f(x₂).

∴f(x)=1－在定义域［－5,0］上递减.

设－4≤x₁≤x₂≤1,则x₂－x₁>0,2－x₁－x₂>0,

f^－1(x₁)－f^－1(x₂)

=［－］－［－］

=－

=>0,

即f^－1(x₁)>f^－1(x₂).

因此f^－1(x)=－在［－4,1］上递减.