Question

【题目】如图，梯形中，，，，、分别是，的中点，现将沿翻折到位置，使

（1）证明：面；

（2）求二面角的平面角的正切值；

（3）求与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）通过折叠关系得，计算并证明，即可得证线面垂直；

（2）结合已证结论以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别通过平面和平面的法向量求出其余弦值，再求出正弦值；

（3）计算出平面的法向量与的方向向量的夹角余弦值的绝对值即可.

（1）梯形中，，，，、分别是，的中点，

，四边形为平行四边形，，，，

所以四边形为正方形，，折叠后，，

，，在三角形中，，

所以，

是平面内两条相交直线，

所以面；

（2）两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则

，设平面的法向量为

则，解得，令，取

由（1）可知，面，取平面的法向量

，

根据图形，二面角的平面角的余弦值为

所以二面角的平面角的正切值为；

（3），由（2）可得平面的法向量

设直线与平面所成的角为，

.

所以与平面所成的角的正弦值.