Question

已知点Q是抛物线C₁：y²=2px（P＞0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C₂：y=2x²相切的两条直线分别交抛物线C₁于点A，B．
（Ⅰ）若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长；
（Ⅱ）判断直线AB与抛物线C₂的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Q（1，-6）在抛物线y²=2px上，求出抛物线方程为y²=36x，设出抛物线C₂的切线方程，与抛物线C₂联立，用判别式等于零求出切线的斜率，把两切线方程分别与抛物线C₁联立求出点A，B，下求过两点的直线方程与弦长．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），三个点都在抛物线C₁上，代入抛物线方程，利用点差法求出直线QA、直线QB的斜率，用点斜式写出其方程，因其皆为抛物线C₂的切线，故联立后用判别式为零得到两个方程，从其形式上看，对其作差可以得到在点坐标之间的关系，求出y₀=-（y₁+y₂）达到用已知p，y₀表示f直线AB的斜率的目的，表示出直线AB的方程，将其与抛物线联立求证出判别式为零，从而得出直线与曲线相切．

解答：解：（Ⅰ）由Q（1，-6）在抛物线y²=2px上可得，p=18，抛物线方程为y²=36x（1分）
设抛物线C₂的切线方程为：y+6=k（x-1）
联立，

y+6=k(x-1) y=2x2

，由△=0，可得k=-4，k=12
由

y+6=-4(x-1) y2=36x

可知A(

1

4

，-3)
由

y+6=12(x-1) y2=36x

可知B(

9

4

，9)（3分）
易求直线AB方程为12x-2y-9=0（4分）
弦AB长为2

37

（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），三个点都在抛物线C₁上，
故有y₀²=2px₀，y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，作差整理得

y0-y1

x0-x1

=

2p

y0+y1

，

y0-y2

x0-x2

=

2p

y0+y2

所以直线QA：y=

2p

y0+y1

(x-x0)+y0，
直线QB：y=

2p

y0+y2

(x-x0)+y0（6分）
因为QA，QB均是抛物线C₂的切线，故与抛物线C₂方程联立，△=0，
可得：p²+2y₀y₁（y₀+y₁）=0，p²+2y₀y₂（y₀+y₂）=0
两式相减整理得：y₀（y₁-y₂）（y₀+y₁+y₂）=0，即可知y₀=-（y₁+y₂）（8分）
kAB=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

=-

2p

y0

所以直线AB：y-y1=-

2p

y0

(x-x1)，
与抛物线y=2x²联立消去y得关于x的一元二次方程：2y₀x²+2px-y₁（y₁+y₀）=0（10分）
易知其判别式△=0，因而直线AB与抛物线y=2x²相切．故直线AB与抛物线C₂相切．（12分）

点评：考查求直线的方程与求弦长的方法，本题求弦长没有用弦长公式，而采取了代数方法求出了两的坐标，求弦长．在第二问中为了验证直线与曲线的位置关系需要求出直线的方程，此过程比较复杂．