Question

设复数z=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）设复数z满足条件|z+3|+（-1）ⁿ|z-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*，常数a∈ (

3

2

 ， 3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C₁；当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C₂，且两条曲线都经过点D(2，

2

)，求轨迹C₁与C₂的方程；
（2）在（1）的条件下，轨迹C₂上存在点A，使点A与点B（x₀，0）（x₀＞0）的最小距离不小于

2 3

3

，求实数x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）方法1：分n为奇数、偶数，结合双曲线、椭圆的定义，联立方程组，即可求出轨迹C₁与C₂的方程；
方法2：先确定轨迹为C₁与C₂都经过点D(2，

2

)，且点D(2，

2

)对应的复数z=2+

2

i，再结合双曲线、椭圆的定义，即可求出轨迹C₁与C₂的方程；
（2）表示出点A与点B（x₀，0）（x₀＞0）距离，利用最小距离不小于

2 3

3

，建立不等式，即可求实数x₀的取值范围

解答：解：（1）方法1：①当n为奇数时，|z+3|-|z-3|=2a，常数a∈ (

3

2

 ， 3)，
轨迹C₁为双曲线，其方程为

x2

a2

-

y2

9-a2

=1；…（3分）
②当n为偶数时，|z+3|+|z-3|=4a，常数a∈ (

3

2

 ， 3)，
轨迹C₂为椭圆，其方程为

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1；…（6分）
依题意得方程组

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

⇒

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

，解得a²=3，
因为

3

2

＜a＜3，所以a=

3

，
此时轨迹为C₁与C₂的方程分别是：

x2

3

-

y2

6

=1（x＞0），

x2

12

+

y2

3

=1．…（9分）
方法2：依题意得

|z+3|+|z-3|=4a |z+3|-|z-3|=2a

⇒

|z+3|=3a |z-3|=a

…（3分）
轨迹为C₁与C₂都经过点D(2，

2

)，且点D(2，

2

)对应的复数z=2+

2

i，
代入上式得a=

3

，…（6分）
即|z+3|-|z-3|=2

3

对应的轨迹C₁是双曲线，方程为

x2

3

-

y2

6

=1（x＞0）；
|z+3|+|z-3|=4

3

对应的轨迹C₂是椭圆，方程为

x2

12

+

y2

3

=1．…（9分）
（2）由（1）知，轨迹C₂：

x2

12

+

y2

3

=1，设点A的坐标为（x，y），
则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-

1

4

x2=

3

4

x2-2x0x+

x

2 0

+3=

3

4

(x-

4

3

x0)2+3-

1

3

x

2 0

，x∈[-2

3

，2

3

]…（12分）
当0＜

4

3

x0≤2

3

即0＜x0≤

3 3

2

时，|AB|2min=3-

1

3

x

2 0

≥

4

3

⇒0＜x0≤

5

当

4

3

x0＞2

3

即x0＞

3 3

2

时，|AB|min=|x0-2

3

|≥

2 3

3

⇒x0≥

8 3

3

，…（16分）
综上，0＜x0≤

5

或x0≥

8 3

3

．…（18分）

点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线、椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．