【题目】已知幂函数满足
.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,是否存在实数
使得
的最小值为0?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(3)若函数,是否存在实数
,使函数
在
上的值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在
使得
的最小值为0;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由为幂函数可得
,解得
或
,经验证
。(2)令
,则
,设
,则将问题转化为函数
在
上的最小值是否为0的问题。根据对称轴
与区间
的关系求解,可得
满足题意。(3)由题意得
,且
在定义域内为单调递减函数,若存在实数a,b满足题意,则可得
,由②-①消去n得
,从而
,将③代入②得
,再令
,由
得
,所以将问题转化为求
在
上的取值范围,根据二次函数的知识可得
。
试题解析:
(1)∵是幂函数,
∴,
解得或
,
当时,
,不满足
,
当时,
,满足
,
∴
∴。
(2)令,则
,
设,
①当,即
时,由题意得
,
解得;
②当,即
时,由题意得
,
解得(舍去);
③当,即
时,由题意得
,
解得(舍去)
综上存在使得
的最小值为0。
(3)由题意得,
∴在定义域内为单调递减函数;
若存在实数,使函数
在
上的值域为
,
则,
由②-①,得
,
∴,
将③代入②得,
,
令,
∵,
∴,
又,故在区间
上单调递减,
∴。
∴存在实数,使函数
在
上的值域为
且实数
的取值范围为
.
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【题目】近年来空气质量逐步恶化,雾霾天气现象增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关,在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查,得到了如表的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由.
参考格式: ,其中
.
下面的临界值仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)化曲线的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线与
轴的一个交点的坐标为
,经过点
作斜率为1的直线,
交曲线
于
两点,求线段
的长.
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【题目】已知指数函数
(1)函数过定点
,求
的值;
(2)当时,求函数
的最小值
;
(3)是否存在实数,使得(2)中关于
的函数
的定义域为
时,值域为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设抛物线的顶点在坐标原点,焦点在
轴上,过点
的直线交抛物线于
两点,线段
的长度为8,
的中点到
轴的距离为3.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设直线在
轴上的截距为6,且抛物线交于
两点,连结
并延长交抛物线的准线于点
,当直线
恰与抛物线相切时,求直线
的方程.
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【题目】已知函数 的定义域为
,若对于任意的
,
,都有
,且当
时,有
.
(1)证明: 为奇函数;
(2)判断 在
上的单调性,并证明;
(3)设 ,若
(
且
)对
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆
的直角坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数),射线
的极坐标方程为
.
(1)求圆和直线
的极坐标方程;
(2)已知射线与圆
的交点为
,与直线
的交点为
,求线段
的长.
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