Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且B（-1，-3）．
（Ⅰ）求椭圆C和直线l的方程；
（Ⅱ）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与D有公共点，试求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率求得a和b的关系，把点B代入椭圆的方程，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）把圆的方程整理成标准方程求得圆心和半径，进而利用图象可知只须考虑m＜0的情形．设出圆与直线的切点，利用点到直线的距离求得m，进而可求得过点G与直线l垂直的直线的方程，把两直线方程联立求得T，因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，利用两点间的距离公式求得m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由离心率e=

6

3

，得

a2-b2

a

=

6

3

，即a²=3b²．①
又点B（-1，-3）在椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1上，即

(-3)2

a2

+

(-1)2

b2

=1．②
解①②得a²=12，b²=4，
故所求椭圆方程为

y2

12

+

x2

4

=1．
由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2．
（Ⅱ）曲线x²-2mx+y²+4y+m²-4=0，
即圆（x-m）²+（y+2）²=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径r=2

2

，
表示圆心在直线y=-2上，半径为2

2

的动圆．
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．
设⊙G与直线l相切于点T，则由

|m+2-2|

2

=2

2

，得m=±4，
当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l'的方程为x+y+6=0，
解方程组

x+y+6=0 x-y-2=0

，得T（-2，-4）．
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，
所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，
即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得mmin=-

7

-1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了知识的综合运用和数形结合的方法的应用．