Question

【题目】某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点处的某种设备产生水波圈，水波圈生产秒时的半径（单位： ）满足； 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端固定在水岸边.游戏规定：当点处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的端跑向端；若该参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知， ，浮桥的某个桥墩处点到直线的距离分别为，且，若某游戏参与者能以的速度从浮桥端匀速跑到端.

（1）求该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间？

（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）设，由，解得或（舍）.求得直线的方程为，与联立可得，求得AB,进而可得所需时间；

（2）求得时，点坐标为，其中. ， .构造函数 ，求导计算可得时， 恒成立，所以该参与者在这个游戏中过关.

试题解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，则，

直线的方程为.

设，由，解得或.

当时， ，符合；

当时， ，不符合.

所以，直线的方程为.

由解得即.

所以.

所以，该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间为.

（2）在中， ， .

设时，该参与者位于点，则， .

则时，点坐标为，其中.

， .

令 ，

则

时， 在上为增函数，

时， 在上为减函数，

故当时， 取得最大值.

由于，所以时， 恒成立.

即该游戏参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，所以该参与者在这个游戏中过关.

点晴：本题考查的是函数模型的应用。解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．