Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． （Ⅰ）证明：直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若△PAD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD平面PAD，BC平面PAD， ∴直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD= ，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，
则OE= ，PO= ，PE= = ，
△PCD面积为2 ，可得： =2 ，
即： ，解得x=2，PE=2 ．
则V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PE= =4 ．

【解析】（Ⅰ）利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （Ⅱ）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．