Question

（本小题满分12分）
设函数，其中表示不超过的最大整数，如.
 （1）求的值；
（2）若在区间上存在x，使得成立，求实数k的取值范围；
（3）求函数的值域.

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

试题分析：（1）因为，所以 ------2分
（2）因为，所以,          -------------------3分
则.
求导得，当时，显然有,
所以在区间上递增,                -------------------4分
即可得在区间上的值域为,
在区间上存在x，使得成立，所以. ---------------6分
（3）由于的表达式关于x与对称，且x>0，不妨设x³1.
当x=1时，=1，则;           ----------------------7分
当x>1时，设x= n+，nÎN^*，0£<1.
则[x]= n，，所以.   -----------------8分
，
在[1，+¥)上是增函数，又，
,
当时，
当时，                  … 10分
故时，的值域为I₁∪I₂∪…∪I_n∪…
设,
则.
,
\当n³2时，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…
又b_n单调递减，\ b₂> b₃>…> b_n>…
\[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…       ----------------------11分

\ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂=
综上所述，的值域为. ----------------------12分
点评：我们要注意恒成立问题和存在性问题的区别。恒成立问题：通常采用变量分离法解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立；存在性问题：思路1：存在使成立；思路2: 存在使成立。