Question

若抛物线y²=2px（p＞0）与直线x-y-1=0相交于A，B两点，且

OA

•

OB

=-1，则p=（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理可求得x₁x₂和y₁y₂的关于p的表达式，根据

OA

•

OB

=-1，即可知x₁x₂+y₁y₂=-1，解方程即可求得p的值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y2=2px x-y-1=0

消去y，得：（x-1）²=2px，
即x²-（2+2p）x+1=0，
∴x₁+x₂=2+2p，x₁x₂=1，
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=1-（2+2p）+1=-2p，
∵

OA

•

OB

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-1，
即1-2p=-1，
∴p=1．
故选A．

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，解题时直线方程与抛物线方程的联立是关键，运用韦达定理求解，应掌握．