Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，

2b-c

a

=

cosC

cosA

（1）求A的大小；
（2）当a=

3

时，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值，即可确定出A得度数；
（2）利用正弦定理列出关系式，表示出b与c，代入所求式子，整理后利用正弦函数的值域即可确定出范围．

解答：解：（1）△ABC中，

2b-c

a

=

cosC

cosA

，由正弦定理变形得：

2sinB-sinC

sinA

=

cosC

cosA

，
即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
整理得：2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
则A=

π

3

；
（2）由正弦定理及a=

3

，sinA=

3

2

得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
得：b=2sinB，c=2sinC，
则b²+c²=4sin²B+4sin²C
=2（1-cos2B+1-cos2C）
=2[2-cos2B-cos2（120°-B）]
=2[2-cos2B-cos（240°-2B）]
=2（2-

1

2

cos2B+

3

2

sinB）
=4+2sin（2B-30°），
∵0＜B＜120°，即-30°＜2B-30°＜210°，
∴-

1

2

＜sin（2B-30°）≤1，
则3＜b²+c²≤6．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．