Question

【题目】某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.

(1)求第n年初M的价值an的表达式；

(2)设An＝.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．

Answer 1

【答案】（1）an＝；（2）见解析.

【解析】(1)当n≤6时，数列是首项为120，公差为－10的等差数列，

∴＝120－10(n－1)＝130－10n；

当n≥6时，数列是以为首项，公比为的等比数列，

又＝70，

所以．

综上可得第n年初，M的价值的表达式为．

(2)证明：设表示数列的前n项和，由等差及等比数列的求和公式，得

①当1≤n≤6时，，

∴；

∴数列是递减数列，故，M可继续使用．

②当n≥7时，由于，故

，

∴，

易知数列是递减数列．

又，

所以需在第9年初对M更新．