Question

已知函数，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有，求实数c的最小值；

(3)若过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　　1分 　　根据题意，得即解得　　3分 　　∴f(x)＝x3－3x　　4分 　　(2)令(x)＝3x2－3＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1． 　　∵f(－1)＝2，f(1)＝－2，∴当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2． 　　则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有 　　，所以c≥4． 　　所以c的最小值为4　　8分 　　(3)∵点M(2，m)(m≠2)不在曲线y＝f(x)上，∴设切点为(x0，y0)．则 　　，∴切线的斜率为 　　则，即 　　因为过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y＝f(x)的三条切线， 　　所以方程有三个不同的实数解． 　　即函数g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三个不同的零点． 　　则(x)＝6x2－12x．令(x)＝0，解得x＝0或x＝2． 　　即解得－6＜m＜2　　14分