Question

（Ⅰ）（20分）在复数范围内解方程(i为虚数单位)
（Ⅱ）设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（10分）
（2）设u=，求证：u为纯虚数；（5分）
（3）求ω－u²的最小值,（5分）

Answer 1

（Ⅰ）原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi="1-i,"
∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
（Ⅱ）（1）设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，
则ω=a+bi+=(a+)+(b－)i
∵ω是实数，∴,又∵b≠0，∴a²+b²=1，即|z|=1
∵ω=2a，－1＜ω＜2，∴z的实部的取值范围是(－，1)
（2）证明：u====
由（1）知a²+b²=1,∴u=－I,又∵a∈(－，1)，b≠0，
∴u为纯虚数
（3）解：ω－u²=2a+=2a+=2a－
=2a－1+=2［(a+1)+］－3
∵a∈(－，1)，∴a+1＞0,
∴(a+1)+ ≥2(当a+1=，即a=0时，上式取等号.)
∴ω－u²≥2×2－3=1,∴ω－u²的最小值为1.  

略