Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且(3－m)S_n＋2ma_n＝m＋3(其中m为常数，n∈N₊)，且m≠－3．

(1)求证：{a_n}为等比数列；

(2)若数列{a_n}的公比q＝f(m)，数列{b_n}满足b₁＝a₁，b_n＝f(b_n－1)(n∈N₊，n≥2)，求证：{}为等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题要证数列为等差、等比数列，所以需按定义研究an+1与an的关系，而已知为Sn，需将Sn化为an，它们之间的关系为 　　an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2． 　　证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn+1＋2man+1＝m＋3， 　　∴(3＋m)an+1＝2man(m≠－3)． 　　∴． 　　∴{an}为等比数列． 　　(2)由已知q＝f(m)＝，b1＝a1＝1， 　　∴当n≥2时，bn＝f(bn－1)＝·． 　　∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1． 　　∴． 　　∴{}是首项为1、公差为的等差数列．

提示：

证明数列为等差、等比数列需紧扣定义，找到an+1与an之间的关系，由已知前n项和Sn，求出an＝由已知条件逐步变形得到，从而得证．