Question

【题目】已知椭圆，过点作直线与椭圆交于两点．

（1）若点平分线段，试求直线的方程；

（2）设与满足（1）中条件的直线平行的直线与椭圆交于两点，与椭圆交于点，与椭圆交于点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）设，代入椭圆方程，两式相减可求得直线的斜率，从而得直线方程；（2）设，同时设，下面只要证得即可，为此由得，并把坐标代入椭圆方程，变形得，即，同理有， 这两式相减，并由可证得结论．

试题解析：（1）设，则，①，②

①-②得，

即，

又，∴，

故直线的方程为，即．

（2）设，且，

则有，即，

将点的坐标分别代入椭圆方程：

，①，②

②-①得，

易知，故约去得，③．

同理有，④

由④-③得，

由已知斜率为，有，

得，即，即，所以