Question

（2012•烟台三模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，直线x=

a2

c

与x轴交于点B且与直线y=

b

a

x交于点C，点O为坐标原点，

OB

=2

OA

，

OA

•

OC

，过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，点P为点M直线x=

a2

c

的对称点
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BMN的面积．的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据

OB

=2

OA

，

OA

•

OC

=8，可得

a2

c

=2a且

a3

c

=8，从而可求椭圆方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），与椭圆方程联立

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，利用韦达定理，同时确定

BP

，

BN

的坐标，证明

BP

，

BN

共线，即可证得结论；
（3）求出d为B到l的距离d=

3|k|

1+k2

，弦长|MN|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

，即可表示出面积，从而可求△BMN的面积的最大值．

解答：（1）解：因为

OB

=2

OA

，

OA

•

OC

=8，所以

a2

c

=2a且

a3

c

=8，所以a=2，c=1
所以b=

a2-c2

=

3

，所以椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）证明：设直线l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，消去y得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，
所以x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

…（6分）
由于P（8-x₁，y₁），

BP

=(4-x1，y1)，

BN

=(x2-4，y2)，
因为（4-x₁）y₂-（x₂-4）y₁=4（y₁+y₂）-x₁y₂-y₁x₂=4k（x₁+x₂-2）-2kx₁x₂+k（x₁+x₂）=4k(

8k2

3+4k2

-2)-2k

4k2-12

3+4k2

+k

8k2

3+4k2

=0…（8分）
当l⊥x轴时，也满足
故

BP

，

BN

共线，所以N、B、P三点共线…（9分）
（3）解：记d为B到l的距离，则d=

3|k|

1+k2

，|MN|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

，…（10分）
所以S=

1

2

d|MN|=

3

2

|k|

( 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2

=

9

2

1- 8k2+9 16k4+24k2+9

＜

9

2

…（12分）
当l⊥x轴时，S=

9

2

，…（13分）
所以△BMN的面积的最大值为

9

2

…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，考查三角形面积的计算，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．