Question

（2012•河北模拟）如图，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱柱C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A₁D⊥平面ABCD，可得A₁D为两个底面的距离即三棱锥C-A₁B₁C₁的高，再利用三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V=

1

3

S△A1B1C1×A1D计算公式即可得出；
（Ⅱ）通过建立如图所示的空间直角坐标系，先求出平面ADB₁的法向量，利用BD₁的方向向量与其法向量的夹角即可得出线面角．

解答：解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABCD，∴A₁D⊥AD，A₁D即为两个底面的距离．
在Rt△A₁DA中，∠A1DA=90°，AA₁=2，AD=1，
由勾股定理得A1D=

22-12

=

3

．
又S△A1B1C1=

1

2

×1×1=

1

2

．
∴三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V=

1

3

S△A1B1C1×A1D=

1

3

×

1

2

×

3

=

3

6

；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
A₁（0，0，

3

），B₁（0，1，

3

），D₁（-1，0，

3

），C₁（-1，1，

3

）．
∴

BD1

=(-2，-1，

3

)，

DA

=(1，0，0)，

DB1

=(0，1，

3

)．
设平面ADB₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • DA =0 n • DB1 =0

，即

x=0 y+ 3 z=0

，
令z=1，则y=-

3

，x=0，∴

n

=(0，-

3

，1)．
设直线BD₁与平面ADB₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

BD1

＞|=

| DB1 • n |

| DB1 | | n |

=

2 3

(-2)2+(-1)2+( 3 )2 0+(- 3 )2+12

=

6

4

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求空间角、空间距离、线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．