Question

【题目】如图，是边长为2的正方形，平面，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二而角等于45°？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在点，当时，二面角所成角为．

【解析】

（Ⅰ）要证得结论只需证得平面即可，根据线面垂直判定定理可证得结论；

（Ⅱ）以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线段上存在一点满足题意，利用二面角的向量求法可构造方程求得点坐标，得到的长.

（Ⅰ）平面，平面，平面，

，，

又，，平面，平面，

又平面，平面平面．

（Ⅱ）如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

，，，，，

，，

假设线段上存在一点满足题意，设，，

轴平面，平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，而，，

则，令，则，，，

，

若二面角所成角为，，解得：，

存在点，当时，二面角所成角为．