Question

定义在R上的函数f（x）满足f（4-x）=-f（x），当x＞2时，f（x）单调递增，如果x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

Answer 1

分析：不妨设x₁＜x₂，根据（x₁-2）（x₂-2）＜0，可得x₁＜2，x₂＞2，再根据x₁+x₂＜4，可得x₂＞4-x₁＞2，利用函数的单调性，可以得到f（4-x₁）与f（x₂）的大小关系，再利用f（4-x）=-f（x），赋值x=x₁，f（4-x₁）转化为f（x₁），从而得到结论．

解答：解：∵（x₁-2）（x₂-2）＜0，
∴不妨设x₁＜x₂，
∴x₁＜2，x₂＞2，
∵x₁+x₂＜4，
∴4-x₁＞x₂＞2，
∵当x＞2时，f（x）单调递增，
∴f（4-x₁）＞f（x₂），
又∵f（4-x）=-f（x），
令x=x₁，可得-f（x₁）=f（4-x₁），
∴-f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）＞0．
即f（x₁）+f（x₂）的值恒小于0．
故选A．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查根据抽象函数的性质进行灵活变形，转化证明的能力，本题对灵活转化的能力要求较高，依据条件灵活转化是一种数学素养较高的表现．属于中档题．