Question

将圆

X=cosθ Y=1+sinθ

的中心到直线y=kx的距离记为d=f（k）给出下列判断
①数列{nf（n）}是递增数列
②数列{

1

f2(n)

}的前n项和是

n(2n2+3n+7)

6

③

lim

n→∞

[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1=1
④

2

f(n)+f(n+1)

＜

f-1+f-1(n+1)

2

其中正确的结论是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①③

D．①

Answer 1

分析：利用点到直线的距离公式求出f（k）=

1

1+k2

，
根据nf（n）=

1- 1 n2+1

，故数列{nf（n）}是递增数列，故①正确．
根据数列{

1

f2(n)

}的前n项和可化为 1+1²+1+2²+1+3²+…1+n²，运算求出结果，可得②正确．
先化简[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1 =

1+ 2 n + 2 n2 + 1+ 1 n2

2

，易求得其极限为1，故③正确．
先化简

2

f(n)+f(n+1)

，再利用基本不等式证得此式小于或等于

f-1+f-1(n+1)

2

，故④正确．

解答：解：圆

X=cosθ Y=1+sinθ

的圆心为（0，1），它到直线y=kx的距离d=f（k）=

1

1+k2

．
∵nf（n）=

n

1+n2

=

1- 1 n2+1

，故数列{nf（n）}是递增数列，故①正确．
∵

1

f2(n)

=1+n²，故数列{

1

f2(n)

}的前n项和是 1+1²+1+2²+1+3²+…1+n²=n+（1+2²+3²+…+n²）
=n+

n(n+1)(2n+1)

6

=

n(2n2+3n+7)

6

，故②正确．
∵[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1 =

1

1+(n+1)2 - 1+n2

=

1+(n+1)2 + 1+n2

2n

=

1+ 2 n + 2 n2 + 1+ 1 n2

2

，
∴

lim

n→∞

[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1=

lim

n→∞

 

1+ 2 n + 2 n2 + 1+ 1 n2

2

=1，故③正确．

∵

2

f(n)+f(n+1)

=

2

1 1+k2 + 1 1+(k+1)2

=

2 1+n2 • 1+(n+1)2

1+n2 + 1+(n+1)2

≤

2× 1 4 ( 1+n2 + 1+(n+1)2 )2

1+n2 + 1+(n+1)2

=

1+n2 + 1+(n+1)2

2

．
而

f-1+f-1(n+1)

2

=

1+n2 + 1+(n+1)2

2

，故④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查点到直线的距离公式，求数列的极限，式子的化简变形是解题的难点和关键．