在直角坐标系中.定义:.即(n∈N*)为点Pn(xn.yn)到点Pn+1(xn+1.yn+1)的一个变换．我们把它称为点变换．已知P1(1.0)．(1)求直线y=x在矩阵变换下的直线方程,(2)设dn=|OPn|2(n∈N*).求证:dn为等比数列.并写出dn的通项公式,(3)设P2(x2.y2)-.Pn(xn+1.yn+1)(n∈N*)是经过点变换得到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在直角坐标系中，定义：

，即

（n∈N^*）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P₁（1，0）．
（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；
（2）设d_n=|OP_n|²（n∈N^*），求证：d_n为等比数列，并写出d_n的通项公式；
（3）设P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是经过点变换得到的一列点．求数列x_n，y_n的通项公式．

【答案】分析：（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），所以直线y=0；
（2）因为

，据此可写出d_n的通项公式；
（3）由

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），由此可求出数列x_n，y_n的通项公式．
解答：解：（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），
所以直线y=x变成x轴，即直线y=0；
（2）（1）因为

所以d_n是首项为1，公比为2的等比数列，d_n=2^n-1；
（3）由

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），
所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），
则

，

．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列通项公式的求法．

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A．1023+511

B．

1023(2+

)

1024

C．1023(1+

)

D．1023(

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