Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）.（2）a．

【解析】

（1）函数求导得，然后分a≤0和a＞0两种情况分类求解.

（2）根据对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，等价于f（x）max＜g（x）max，然后分别求最大值求解即可.

（1），

当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当a＞0时，在区间（0，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

综上：当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞），

当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）.

（2），

在区间（1，3）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

在区间（3，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

所以g（x）max＝g（3）＝ln3，

因为对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，

等价于f（x）max＜g（x）max，

由（1）知当a≤0时，f（x）无最值，

当a＞0时，f（x）max＝f（）＝﹣lna，

所以﹣lna＜ln3，

所以，

解得a．