Question

已知函数.

(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(2)求的单调区间；

(3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）. （2） ①当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是. ②当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）.

【解析】

试题分析：.                   

（1），解得.                          

（2）.                    

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.     

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

③当时，， 故的单调递增区间是.  

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   

（3）由已知，在上有.             

由已知，，由（2）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故. 

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，                       

综上所述，.  

考点：本题考查了导数的运用

点评：对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想方法的运用.