Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₃a₅=16，a₂+a₆=10．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（a_n+7）•

2n

3

，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₃+a₅=10．与a₃a₅=16，求出a₃=2，a₅=8．通项公式易求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=（a_n+7）•

2n

3

=4n•

2n

3

，利用错位相消法求和计算即可．

解答：解：（Ⅰ）a₂+a₆=10．即a₃+a₅=10．与a₃a₅=16，联立解得a₃=2，a₅=8．
∴

a1+2d=2 a1+4d=8

解得

a1=-4 d=3

，∴a_n=-4+3（n-1）=4n-7．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-7．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=（a_n+7）•

2n

3

=4n•

2n

3

，
∴数列{a_n}的前n项和
T_n=

4

3

•2+

8

3

•22+

12

3

•23+…+

4n

3

•2n
2T_n=

4

3

•22+

8

3

•23+…+

4n

3

•2n+1
∴-T_n=

8

3

+

4

3

（2²+2³+…+2 ^n-1）-

4n

3

•2ⁿ⁺¹
=

8

3

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-4）-

4n

3

•2ⁿ⁺¹
=-

8

3

+

8(1-n)•2n

3

∴T_n=

8(n-1)•2n

3

+

8

3

．

点评：本题考查等差数列的性质，通项公式求解，错位相消法求和，属于常规性知识和方法．