Question

【题目】已知无穷数列的各项均为正数，其前项和为， .

（1）如果，且对于一切正整数，均有，求；

（2）如果对于一切正整数，均有，求；

（3）如果对于一切正整数，均有，证明： 能被8整除．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ． (3) 见解析.

【解析】试题分析：（1）由，得，根据等比数列的通项公式得到通项；（2）推导出an+1﹣an﹣1=1．a1=4，由anan+1=Sn，得a2=1，a3=5，a4=3，…，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出Sn的值；（3）推导出，分别求出前4项的值，利用数学归纳法能证明a3n﹣1能被8整除．

解析：

(1) 数列的各项均为正数，由，得，

数列是等比数列，公比，从而

(2) 由得，两式相减得，

此数列各均为正数， ， 数列和数列均是公差为1的等差数列．由，得．

当为偶数时，

当为奇数时，

．

(3) 由得，两式相减得.

，得， ．

以下证明：对于， 被8除余数为4， 被8整除， 被8除余数为4.

当时， ， ， ，命题正确．

假设时，命题正确，即， ， 其中， ．

那么， ， 为正整数， 被8除余数为4．

．

为正整数， 能被８整除．

． 为正整数， 被8除余数为4．

即时，命题也正确．

从而证得，对于一切正整数， 能被８整除．