Question

【题目】已知函数.

(1)证明：当时，有且仅有一个零点.

(2)当，函数的最小值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）利用导数求得函数的单调区间和最小值，结合零点存在性定理，证得结论成立.（2）先求得得到解析式和导函数.根据（1）的结论，求得导函数的零点，根据将转化为的形式，进而求得最小值的表达式，利用构造函数法和导数作为工具，求得最小值的取值范围，进而求得的取值范围.

（1）证明：因为，所以.

令，解得；令，解得，则在区间上单调递减，在上单调递增，故，因为，所以，所以当时，，故在上没有零点，因为，所以当时，，因为在上单调递增，所以有且仅有一个零点综上，当时，有且仅有一个零点.

（2）解：因为，所以.

由（1）知当时，有且仅有一个零点，因为，，所以存在唯一，使得，且当时，；当时，.

故在区间上单调递减，在上单调递增，所以

，又，即，代入上式得，

，，设函数，，则在上单调递减，故，因为函数在上单调递减，故对任意，存在唯一的，，使得，所以的值域是，综上，当时，函数的最小值的值域为