Question

21、设函数f（x）=ax³-2x²+x+c（a＞0）．
（1）当a=1，且函数图象过点（0，1）时，求函数f（x）的极小值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上无极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象上的点的坐标确定函数的解析式，利用导数研究函数的单调性从而求解极小值．
（2）函数f（x）无极值点转化为函数在R上是单调的，即其导函数的符合不发生变化，利用二次函数的图象和性质确定参数a的取值范围．

解答：解：函数的导数f'（x）=3ax²-4x+1，
（1）函数图象过点（0，1）时，有f（0）=c=1．
当a=1时，f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）=3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1．由f'（x）=3x²-4x+1＜0得，

1

3

＜x＜1．
所以函数f（x）在（-∞，

1

3

]，[1，+∞）上单调递增，在[

1

3

，1]上单调递减，所以函数的最小值为f（1）=1-2×1+1+1=1．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上无极值点，则f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，即f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立．
①当a=0时，f'（x）=-4x+1，显然不满足条件．
②当a≠0时，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立的充要条件是△≤0，
即（-4）²-4×3a×1≤0，即16-12a≤0，解得a≥

4

3

．
综上，a的取值范围为[

4

3

，+∞）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数单调性和最值，属于常考题型．