Question

设函数f(x)=x,给出下列四个命题:①函数f(|x|)为偶函数;②若|f(a)|=|f(b)|,其中a＞0, b＞0,a≠b,则ab=1;③函数f(-x²+2x)在(1,2)上为单调增函数;④若0＜a＜1,则|f(1+a)|＜|f(1-a)|.则正确命题的序号是______________(把正确命题的序号都写上).

Answer 1

①②③④  ∵f(x)=x,∴f(|x|)=|x|,为偶函数,①正确.

若|f(a)|=|f(b)|,不妨设0＜a≤1,b≥1,

则|f(a)|=|f(b)|f(a)=-f(b)f(a)+f(b)=0log₂ab=0ab=1.

∴②正确.

∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,而u=-x²+2x在(1,2)内单调递减且u＞0,∴f(-x²+2x)在(1,2)上单调递增,③正确.

当0＜a＜1时,1＜1+a＜2,0＜1-a＜1,0＜1-a²＜1,

则|f(1+a)|-|f(1-a)|=|(1+a)|-|(1-a)|=-(1+a)-(1-a)

=-(1-a²)＜0,∴④正确.

综上得,①②③④均为正确命题.