Question

已知不过坐标原点的直线与抛物线相交于、两点，且，于.
①求证：直线过定点；　　　　
②求点的轨迹方程.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

（1）为避免对斜率不存在情况的讨论，可以设直线方程为,然后根据题目给的方程条件,即可确定b的值或找到b与t的关系,进而确定定点.
(2)由于第一问确定了定点C（2,0）,然后可知点E在以OC为直径的圆上.求出此圆的方程即可.
也要利用交轨法求其轨迹方程.
解：令直线与抛物线相交于、两点
　　　　　　　　　（给直线方程给分）　　　　　　　　　　……………………1分
　　　　　　　 ……………………2分
于是，、是此方程的两实根，由韦达定理得：
　　　　　　　　　　　 ……………………3分
　　  …………4分
又　　　　　　　      　　……………………5分
∴                          ……………………6分
故直线：过定点　　　　　　　　　  ……………………8分
②∵,,                       ……………………9分
∴点的轨迹是以线段为直径的圆除去点，　　　　　……………………11分
故点的轨迹方程为 　　　　　　……………………12分
说明：直线的方程设为又没有讨论不存在的情况扣2分；轨迹方程中没有限制    扣1分.