Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中，P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=

5

2

．
（1）求证：平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁；
（2）求直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取D₁C₁的中点H，连接PH，AH．可以证得四边形PA₁AH为平行四边形，即PA₁∥AH，进而由线面平行的判定定理可得PA₁∥平面ABC₁D₁，同理PB₁∥平面ABC₁D₁，利用面面平行的判定定理可得结论；
（2）由PA₁∥AH，可得直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角等于直线AH与平面ADD₁A₁所成角，即∠HAD₁就是直线AH与平面ADD₁A₁所成角，解Rt△HAD₁，可得直线PA₁与ADD₁A₁所成角的正切值．

解答：（1）证明：取D₁C₁的中点H，连接PH，AH．
∵PC₁=PD₁=

5

2

，D₁C₁=1，P∈平面DCC₁D₁，
∴PH⊥D₁C₁，D₁H=

1

2

，
∴PH=

PD12-D1H2

=1
∴PH∥D₁D∥A₁A，PH=A₁A，
∴四边形PA₁AH为平行四边形，
∴PA₁∥AH，
又AH?平面ABC₁D₁，PA₁?平面ABC₁D₁，
∴PA₁∥平面ABC₁D₁；
同理PB₁∥平面ABC₁D₁；
∵PA₁∩PB₁=P，
∴平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁；
（2）解：∵PA₁∥AH，
∴直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角等于直线AH与平面ADD₁A₁所成角．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，显然HD₁⊥平面ADD₁A₁，
∴∠HAD₁就是直线AH与平面ADD₁A₁所成角．
在Rt△HAD₁中，D₁H=

1

2

，AD₁=

2

，
∴tan∠HAD₁=

D1H

AD1

=

2

4

，
∴直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角的正切值为

2

4

．

点评：本题考查面面平行的判定，直线与平面所成的角，（1）的关键是证得四边形PA₁AH为平行四边形，（2）的关键是分析出∠HAD₁就是直线AH与平面ADD₁A₁所成角．