Question

一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E为线段AA₁上的点．
（1）求几何体E-B₁C₁CB的体积；
（2）是否存在点E，使平面EBC⊥平面EB₁C₁，若存在，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）说明三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，推出底面三角形是直角三角形，然后求出几何体E-B₁C₁CB的体积．
（2）利用BE²=AB²+AE²=2，推出BE⊥B₁E，通过

B1C1 ⊥ A1B1 B1C1⊥B B1 A1B1∩ B B1=B1

，证明B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，得到B₁C₁⊥BE，即可证明平面EBC⊥平面EB₁C₁．求出AE的长．

解答：解：（1）由题意可知，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，
底面三角形是直角三角形，AB⊥BC，AB=1，BC=

3

，BB₁=2，
几何体E-B₁C₁CB的体积为：V=

1

3

×1×

3

×2=

2 3

3

．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，
∴BE²=AB²+AE²=2，
∴B₁E²=A₁B₁²+A₁E²=2，
又BB₁=2，
∴BE²+B₁E²=BB₁²，
∴BE⊥B₁E，
又

B1C1 ⊥ A1B1 B1C1⊥B B1 A1B1∩ B B1=B1

⇒B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥BE，
由BE⊥B₁E，B₁C₁⊥BE，B₁E∩B₁C₁=B₁，得BE⊥平面EB₁C₁，
又BE?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB₁C₁．  …（12分）
∴AE=

BE2-AB2

=

2-1

=1．

点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面，平面与平面垂直，几何体的体积，考查空间想像能力和推理论证能力，考查计算能力．