Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若在上恒成立，求正数的取值范围；

（Ⅲ）证明：.

Answer 1

【答案】（I）单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；（III）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，解不等式和可得单调递增、递减区间；（Ⅱ）采用参数讨论的方法求出函数在区间上的最小值，通过逐步排除可得正数的取值范围；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结论，当时有，然后令，代入整理得，相加后可得所证不等式．

（Ⅰ）当时，，

所以，

则当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

所以单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）因为，，则，

.

①当 ，时，有，

故当，则，在上是减函数，

所以当时，，与在恒成立矛盾。

②当时，，此时在上成立，

所以在上是增函数，

所以，

即在上恒成立．

综上所述，所求的取值范围为．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在上恒成立，

即，

当时，则有，

所以当时，．

令，则有，

即，，

将上述个不等式依次相加得：

，

整理得.