Question

已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不等于0的常数．
（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[1，2）的解析式；
（3）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1]，n∈N的解析式．

Answer 1

分析：（1）对f（x）配方后借助二次函数的性质可求得函数值域；
（2）当1≤x＜2时，0≤x-1＜1，由0≤x≤1时f（x）表达式可求得f（x-1），再根据已知条件f（x+1）=af（x）得f（x）=af（x-1），由此可求得结果；
（3）当n≤x＜n+1时，0≤x-n＜1，同（2）可求得f（x-n），根据f（x）=af（x-1）=a²f（x-2）=…=aⁿf（x-n）可得答案；

解答：解：（1）∵f（x）=x（1-x）=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，
∴f（x）∈[0，

1

4

]，即f（x）的值域为[0，

1

4

]；
（2）∵函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x）且a≠0，
∴f（x）=af（x-1），x∈R．
若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），
则当1≤x＜2时，0≤x-1＜1，
∴f（x）=af（x-1）=a（x-1）[1-（x-1）]=a（x-1）（2-x）=-ax²+3ax-2a；
（3）当n≤x＜n+1，n∈N时，f（x）=af（x-1）=a²f（x-2）=…=aⁿf（x-n），x∈R，
∴当n≤x＜n+1，n∈N时，f（x）=aⁿf（x-n）=aⁿ（x-n）[1-（x-n）]=-aⁿx²+aⁿ（2n+1）x-aⁿn（n+1）．
∴当x∈[n，n+1）时，f（x）=-aⁿx²+aⁿ（2n+1）x-aⁿn（n+1）．

点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法，属基础题，解决本题的关键是正确理解已知条件f（x+1）=af（x）并能准确转化．