Question

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点．

(1)如图(甲)中，F、G分别是BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)如图(乙)中，若F是BC上的点，G是DC上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形，并且直线EF、GH、AC共点．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)如图(甲)，连结BD． 　　∵EH是的△ABD中位线， 　　∴EHBD，同理FGBD 　　根据公理4，EHFG 　　∴四边形EFGH是平行四边形． 　　(2)如图(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中， 　　∴FG∥BD，FG＝BD 　　由公理4，∴EH∥FG，又FG＞EH． 　　∴四边形EFGH是梯形． 　　则直线EF、GH相交，设EF∩GH＝P 　　则P∈EF，又EF平面ABC 　　∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC． 　　又平面ABC∩平面ADC＝AC 　　由公理2，得P∈AC， 　　即EF、GH、AC三条直线共点． 　　点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它是平面图形，本题中的EH∥FG是关键