Question

【题目】已知过点，且与内切，设的圆心的轨迹为，

（1）求轨迹C的方程；

（2）设直线不经过点且与曲线交于点两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点．

【解析】

（1）由题意结合圆的性质可得，利用椭圆的定义即可得解；

（2）当直线斜率不存在时，求出各点坐标后即可得与轴的交点为；当的斜率存在时，设l的方程为，联立方程可得，，进而可转化条件，得出后即可得解.

（1）由题意过点，且与内切，

易知点，半径为，

设两圆切点为，

所以，在中，，

所以，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知，

所以，所以轨迹C的方程为；

（2）①当的斜率不存在的时，设，所以，

所以，解得或（舍），

所以与轴的交点为；

②当的斜率存在时，设l的方程为，

联立消元可得，

，所以，

由韦达定理，，

则

，

又因为，所以，即，

所以，所以成立，

所以，当时，，所以l过，

综上所述，过定点.